Đường: Đa tạp một chiều

Một đa tạp tô pô 1 chiều là một không gian topo mà mỗi điểm của nó có một lân cận đồng phôi với không gian Euclid R {\displaystyle \mathbb {R} }

Một đa tạp 1 chiều liên thông được gọi là 1 đường.

Nếu f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } liên tục thì đồ thị của f {\displaystyle f} là một đa tạp 1 chiều. (Nói chung, cho f : R → D {\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow D} là một hàm liên tục, với D ⊂ R {\displaystyle D\subset \mathbb {R} } n là một tập mở. Khi đó, đồ thị của f {\displaystyle f} , tập ( x , f ( x ) | x ∈ R ) {\displaystyle {(x,f(x)|x\in \mathbb {R} )}} là một không gian con của R {\displaystyle \mathbb {R} } n+1, là một đa tạp 1 {\displaystyle 1} chiều.)

Đường thẳng thực R {\displaystyle \mathbb {R} } , đường tròn S 1 {\displaystyle S^{1}} , đường thẳng xạ ảnh R P 1 ≅ S 1 {\displaystyle \mathbb {R} P^{1}\cong S^{1}} đều là các đa tạp một chiều.

• Đường parabol
  
• Hình vẽ cổ đại về các đường.
• Các mặt cắt của hình nón là các đường cong được nghiên cứu ở Hy Lạp cổ: đường pa-ra-bôn, đường e-líp và đường hy-pê-bôn.
  
• ■ hai đường tròn, ■ một đường pa-ra-bôn, ■ một đường hy-pê-bôn, ■ một đường bậc ba

Mặt: đa tạp hai chiều

Một đa tạp tô pô 2 chiều là một không gian topo Hausdorff mà mỗi điểm của nó có một lân cận đồng phôi với không gian Euclid R {\displaystyle \mathbb {R} } 2

Một đa tạp 2 chiều liên thông được gọi là một mặt

Mặt phẳng là một mặt. Nó liên thông và Hausdorff. Cho điểm p ∈ R 2 {\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{2}} , quả cầu mở tâm p {\displaystyle p} , bán kính bằng 1 là một lân cận của p {\displaystyle p} và đồng phôi với hình đĩa mở. Hơn nữa, mặt phẳng có một cơ sở đếm được được cho bởi tập những quả cầu mở, bán kính hữu tỉ, tâm tại điểm x = ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle x=(x_{1},x_{2})} với x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} hữu tỉ.

Mọi tập con mở liên thông của mặt phẳng cũng là một mặt.

Hình xuyến là một đa tạp 2 chiều

• Hình xuyến thắt nút trong không gian ba chiều.
• Hình xuyến
• Vòng tròn màu đỏ được quét xung quanh trục định bởi vòng tròn màu hồng.

Dải Mobius là một đa tạp hai chiều.

• Dải Mobius

Quả cầu S 2 {\displaystyle S^{2}} , mặt phẳng xạ ảnh thức R P 2 {\displaystyle \mathbb {R} P^{2}} , chai Klein, hình trụ S 1 × R {\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} } , chai Klein bậc bốn (Klein quartic) đều là các đa tạp hai chiều.

Một mặt chứa một dải Mobius nhúng thì được gọi là một mặt không định hướng. Ngược lại thì là một mặt có định hướng.

3-đa tạp: Đa tạp ba chiều

Một đa tạp 3 chiều là không gian topo trong đó mỗi điểm có lân cận đồng phôi với không gian Euclid 4 chiều R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} .

Phần trong của khối lập phương, mặt cầu ba chiều S 3 = { ( x , y , z , w ) | x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1 } {\displaystyle S^{3}=\left\{(x,y,z,w)|x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}=1\right\}} , nhóm Lie - không gian xạ ảnh S O ( 3 ) ≅ R P 3 {\displaystyle SO(3)\cong \mathbb {R} P^{3}} , mặt xuyến T 3 {\displaystyle T^{3}} , các quả cầu đồng điều Poincaré (Poincaré homology spheres), đa tạp Whitehead, đạ tạp Weeks, Khối xuyến, Chai Klein rắn (Solid Klein bottle) đều là các đa tạp 3 chiều.

Một đa tạp 3 chiều là không định hướng nếu nó chứa 1 chai Klein (i.e. tồn tại một phép nhúng từ chai Klein tới đa tạp đó). Nếu không thì khi đó đa tạp 3 chiều được gọi là có định hướng.

4-đa tạp: Đa tạp 4 chiều

Hình cầu ngoại lai (exotic), R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} , đa tạp E 8 {\displaystyle E8} .

Đa tạp nhiều chiều hơn

• Mặt cầu S n {\displaystyle S^{n}} là đa tạp n {\displaystyle n} chiều. Sử dụng phép chiếu nổi ta chỉ ra rằng phủ S n {\displaystyle S^{n}} với 2 lân cận S n − { N } {\displaystyle S^{n}-\left\{N\right\}} và S n − { S } {\displaystyle S^{n}-\left\{S\right\}} đồng phôi với R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} .
• Mọi tập con mở của R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} là đa tạp n {\displaystyle n} chiều.

• Một đa tạp n {\displaystyle n} chiều cũng được gọi là một n {\displaystyle n} -đa tạp.

Đa tạp vô hạn chiều

Đa tạp Hilbert, đa tạp Banach, đa tạp Fréchet, đa tạp các phép đồng phôi trên một đa tạp vi phân.